2010年江苏高考数学试题点评：难度大，有点偏

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　面对众说纷纭的2010年江苏高考数学，王思俭首先给出了一个总体评价：题不是最难，但考倒大批学生。原因主要是：第一，运算量大、梯度明显、区分度高，三个以上知识点融合的情况较多。第二，冷点知识出现频繁，考生须全面掌握数学知识，这也折射出目前高中数学教学中存在导向偏差。第三，难点移前，让习惯于难题都集中在试卷最后一部分的考生措手不及。
　　戴洁 马慧娴 记者 李晓静
　　考生要注重数学思维转换
　　“今年数学卷对基础题的要求提高了。今年要求学生有一个数学思维的转换。”吴彤说，今年实行文理分开划线招生，对理科学生较为有利，文科学生稍显劣势。因为今年文科考生比理科考生多几万人，但从录取的计划来看，理科计划比文科多几万人。文理科的学生比例在3：7比较合理。从目前的导向来看，将来可能会实行文理分卷考试。记者 施广权
　　明年均分90左右较为合适
　　今年高考数学全省均分83.5分，比去年的平均98分低了14.5分，明年高考数学试题应该降低难度，使全省考生均分保持在90分左右比较合适。
　　虽然数学试卷已对不少学校产生了压力，但高二学生不要受今年试卷难易程度的影响，首先狠抓基础不放松，其次注重解题方法的归纳和总结。记者 张本硕
　　没觉得高考数学有多难
　　今年高考数学试题并不难，“难度”主要体现在三个方面：首先是“模式化难”，离开这种模式，考生就不会做题。其次是“边缘化难”，部分试题考察边缘化的内容。三是“难在数学思想和方法的运用”。
　　今年的数学试题类型恰恰体现了当今课程改革的思路和方向，如果学校不能及时应对课程改革的方向，让学生熟练掌握对数学思维和方法的运用，势必感觉今年高考数学试题的“难度”。
　　记者 李志华
　　明年有望降低难度
　　今年的数学卷难度与往年基本相当，但难题分布不同于往年，仅填充题部分就出现了4道难题，大大超出往年该题型的难题数，导致不少考生答题心理发生变化，这是今年高考数学卷的主要特点之一。另外，解答题运算量与往年相比有所增大，很多计算正确率不高的考生较为吃亏。但今年数学卷主要考核基本知识和运算能力，很容易导致考分的两极分化。明年，难题的分布范围可能会有所收敛，会相对集中难度较大的题目于某些题型。 记者 王克
　　老师需拓宽教学思维
　　“今年数学卷并不能起到有效区分选拔不同层次学生的作用。”张亚认为，今年的试题只会让最优秀的学生分数更高，数学薄弱的学生分数更低。今年数学卷对新增知识和传统内容的有机结合，考查得更加科学和深化。但试卷难易比例失当，如第14题具有高度的综合性，深入难。第10、13、17、18、19、20题思维难度较高，抽象概括能力要求较强，字母参数多，运算量大，审题困难。试卷的另一个重要特点是“活”， 一些综合性的题目更要求考生快速调动一些基础知识融会贯通地解答。要求老师在今后的教学拓宽思维，提高思维质量。

2010年江苏高考数学试题及参考答案
一、填空题
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________
答案：1；
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________
答案：
3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__
答案：
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
答案：30
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______▲_________

答案：-1
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
答案：4
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______




答案：63；

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____
答案：21；
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
答案：（-39，+39）
10、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____
答案：
11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是____▲____
答案：
12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是_____▲____
答案：27
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 __▲
答案：4
14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是_______▲_______
答案：
二、解答题
15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长
(2)设实数t满足( )• =0，求t的值
解：（1）
求两条对角线长即为求 与 ，
由 ，得 ，
由 ，得 。
（2） ，
∵( )• ，
易求 ， ，
所以由( )• =0得 。
16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB‖DC，∠BCD=900
(1)求证：PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离[来源:高考资源网]

解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴ ，又 ，∴ 面 ，∴ 。
（2）设点A到平面PBC的距离为 ，
∵ ,∴
容易求出
17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
现在上传的图片版与WORD试卷都有错误，该题似乎缺少 长度的条件，暂无法解答
（1）∵ ， ，∴
（2）

18.（16分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（ ）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M ， ，其中m>0,
①设动点P满足 ,求点P的轨迹
②设 ，求点T的坐标
③设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点
（其坐标与m无关）

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解：（1）由题意知 ， ，设 ，则
         
         化简整理得
    （2）把 ， 代人椭圆方程分别求出 ，
         直线          ①
         直线         ②
         ①、②联立得
    （3） ，
直线 ，与椭圆联立得
直线 ，与椭圆联立得
直线 ,
化简得
令 ，解得 ，即直线 过 轴上定点 。
19．（16分）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列   是公差为 的等差数列.
①求数列 的通项公式（用 表示）
②设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为
解：（1） 是等差数列， ，
     又 ， ，平方得
      ，即 ， ，
       ，即 ，
       ，
      时，
     且对   成立，

（2）由 > 得 > 即 <
      ， <
      >
      ， 的最大值为 。
20.（16分）设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 .
(1)设函数   ，其中 为实数
①求证：函数 具有性质
求函数 的单调区间
(2)已知函数 具有性质 ，给定   ， ，且 ，若| |<| |,求 的取值范围
（1）估计该问题目有错，似乎为   ，则有如下解答：
①  
∵ 时， 恒成立，
∴函数 具有性质 ；
②设 ，则 同号，
   当 时， >0恒成立， 在 上单调递增；
当 时， >0恒成立， 在 上单调递增；
当
（2）
                                       
【理科附加题】
21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）
(1)几何证明选讲
AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC[来源:Ks5u.com]
（证明略）

(2)矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M= ,N= ,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值
（B点坐标不清，略）
(3)参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值
（过程略 ）
(4)不等式证明选讲
已知实数a,b≥0，求证：
（略）
22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立
（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
解：（1）
X     10     5     2     -3
P     0.72     0.18     0.08     0.02
（2）依题意，至少需要生产3件一等品

答：…………
23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数
（1）求证cosA是有理数
（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数
（1）设三边长分别为 ， ，∵ 是有理数， 均可表示为 （ 为互质的整数）形式∴ 必能表示为 （ 为互质的整数）形式，∴cosA是有理数
（2）∵ ，∴ 也是有理数，
当 时，∵

∴ ，
∵cosA， 是有理数，∴ 是有理数，∴ 是有理数，……，依次类推，当 为有理数时， 必为有理数。

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