快乐课堂初中数学精讲-华师版八上第12章-数的开方

快乐课堂

快乐课堂初中数学精讲

华东师范大学出版社（简称“华师版”）
第12章

八上第一单元 数的开方

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说明：课本和一般辅导书已有内容，一般不再重复。

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《全日制义务教育数学课程标准》关于本单元内容的标准要求

（1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。

（2）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

（3）了解无理数和实数的概念，了解实数与数轴上的点一一对应。

（4）能用有理数估计一个无理数的大致范围（例：
估计（根号5-1）/2与0.5哪个大？与1.0比呢？）。

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本单元包括：运算、数的概念，两块知识点。

先简要回顾一下我们已经接触过的运算和数的概念：

第一级运算是加法。减法是加法的逆运算，由于负数概念的引入，加减法已经合并。在本级运算中，0是特殊数。

第二级运算是乘法。除法是乘法的逆运算，由于倒数概念的引入，乘除法已经合并。在本级运算中，0和1是特殊数

由除法，把数从整数拓展到了分数，再加负号，数就拓展到了有理数。

第三级运算是乘方。在本级运算中。0、1、和-1是特殊数。

我们要学的开方，就是乘方的逆运算。可以想像得到，乘方和开方也是可以合并的。[到了高中，指数拓展后，就可以合并了。比如：根号2，可以表示为2 的（1/2）次方；三次根号2，可以表示为2 的（1/3）次方。]

开方时，存在开方开不尽的数，数的范围就拓展到了实数。

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在本单元，我们只学习最简单的开方运算：开平方和开立方。

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开平方，是平方的逆运算。

平方，是两个相同数相乘的积。数相同，则符号必然相同，两数相乘，同号得正。所以，平方会改变符号，平方的结果是非负数。即A方大于等于0。

那么反过来，在实数范围内，负数没有平方根。

由平方形式，开平方得出的结果，是平方根。如：X方=25，则X是25的平方根，平方根必须首先写上“正负号”，表示一般有两种情况。

由根号形式，开平方得出的结果，是算术平方根。算术，就是不要负数的意思。因为根号是一种运算符号，而数学中规定，每种运算符号只能得出唯一的结果。如：根号25=5。所以根号A中，不但A要大于等于0，（根号A）整体也要大于等于0。

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由于我们从小就熟背乘法口诀，所以100以内的平方数：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，大家都能记得住。根据习题经常出现的情况，为了提高运算速度，建议最好记住11到20的平方结果：

11方=121，12方=144，13方=169，14方=196，15方=225，

16方=256，17方=289，18方=324，19方=361，20方=400。

但不要死记硬背，要发现规律，根据规律去记。这样，一是会记得很轻松，二是万一记忆有误，也可以及时发现并纠正。

第一，尾数最好记。（用乘法口诀就行，如18方的尾数一定是八八六十四的4）

第二，首数规律性强。1234一百多，567二百多8和9三百多。

第三，平方数之间的差有规律。13方=169和14方=196之间相差=196-169=27=13+14。即相邻两数的平方数之间相差两数的和。这样，把乘法转化为加法，可以提高速度，也可以做为检验方法。

其他规律或特征，大家可以自己看看想想。比如19方=361，361度运动系列还算是名牌吧。

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开立方，是立方的逆运算。

立方，是三个相同数相乘的积。由于是三个数相乘，不会改变符号。所以，立方根不用考虑符号问题。

和上面同样的原因，建议大家最少要记住1-5的立方结果：

1立=1，2立=8，3立=27，4立=64，5立=125，

6立=216，7立=343，8立=512，9立=729，10立=1000

记忆方法，大家自己想想看看。反正多余老师对512印象非常深，呵呵。

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说过开平方和开立方的基本情况，现在重点说一下：给一个大数开平方时，如何能开得准，开得快。

这个在现在可能很少能用上，可在以后，会经常遇到。

由于平方是两个相同数相乘，所以，开平方时，要尽快把被开方数用乘的形式表现。然后找到两个相同的数，或平方数，就“跳龙门”，变成一个。

如：求根号9600。

9600=96*100，100跳龙门变成10。   96=16*6，16跳龙门变成4

得9600=10*4*根号6=40倍根号6

这是比较好看出平方数，不好看出的就直接用短除法分解。

另外，由于开方，就是要尽量跳出龙门，所以，根号内不要乘出一个大数再开方。

如：求根号（48*52）。

千万不要先算48*52得多少，那叫自找苦吃。

48*52=16*3*3*14，16跳出变成4，两个3跳出就成一个3

所以，根号（48*52）=4*3*根号14=12倍根号14。

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第三，每学一个新知识点，要把有关内容与以前知识串联一下。

开根号的结果是非负数。

以前出现非负数的情况：绝对值的结果是非负数，平方的结果是非负数。几个非负数和=0，则每个数都=0。

被开方数不能是负数，这出现了意义限制。

其它的意义限制：分母不为0，实际问题大多不取负数。

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第四，开方开不尽的数是无理数。反过来说：无理数是开方开不尽的数。这可就错了。

“是”这词，在数学概念中最好不要使用，容易造成误解。

上面这句话，应该换成：

开方开不尽的数属于无理数。反过来，无理数包括开方开不尽的数。

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有理数，是有规律的数。可以用整数的四则运算来表示。

无理数，是无规律的数。是无限不循环小数。常见以下三种情况：

1，开方开不尽的数。

2，一些用字母表示的常数。现在只用到PAI。

3，根据定义构造的数。如：0.1010010001****

实数，是能在数轴上用实际的点表示的数。所以，实数与数轴上的点一一对应。

实数的运算法则和大小比较和有理数一样。

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估计（根号5-1）/2与0.5哪个大？与1.0比呢？

因为5在4和9之间，得根号5在2和3之间，则根号5-1在1和2之间。所以（根号5-1）/2在0。5和1之间。即，比0。5大，比1小。