快乐课堂初中数学精讲-华师版八上第13章-整式的乘除

快乐课堂

快乐课堂初中数学精讲

华东师范大学出版社（简称“华师版”）
第13章

八上第二单元 整式的乘除

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说明：课本和一般辅导书已有内容，一般不再重复。

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《全日制义务教育数学课程标准》关于本单元内容的标准要求

一、数与代数
　　在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。
1．数与式
（4）整式与分式

①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
　　②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。
　　③会推导乘法公式：?（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a＋b）2=a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。?
　　④会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
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本单元包括：幂的运算、整式乘法和除法，因式分解，三块知识点。

通过幂的运算学习，可以把乘方的意义掌握得更加准确，并为整式乘除做好准备。

通过整式乘除的学习，我们就完成了在“式”这个层次的四则运算，并为分解因式和分式的学习做好准备。

通过因式分解的学习，我们要知道因式分解并不是运算，只是一种恒等变形，是其他计算的一种重要工具，在本单元大家对因式分解的作用体会不会太深，随着以后知识的深入，就会慢慢加深体会。

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学习“幂的运算”前要注意：准确掌握乘方的意义，幂的各部分名称及其本质意义。

     在小学时我们已经知道，乘法是指将相同的数加起来的快捷方式。其运算结果称为积。比如：3+3+3+3=12可以写成3*4=12，这里的4表示相同加数的个数，即3*4表示4个3相加。

    同样，乘方是指将相同的数乘起来的快捷方式。其结果称为幂。比如：3*3*3*3=8Q可以写成3的4次方=81，即3的4次方表示4个3相乘。

    3的4次方，整体称为幂，即幂是乘方的结果，是乘方的整体。

3是底数，是指要乘的相同的数，是写成乘法是的因数。

4是指数，是指相同的数乘的个数，是写成乘法时，因数的个数。

重点要记住，“指数是乘的个数”。   

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“幂的运算”的各个法则，不要死记，要根据上面的理解，自己完全可以形象地描述出来。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。如：A的3次方*A的4次方=A的7次方。

根据意义来描述：3个A和4个A放在一起乘，就是7个A相乘。

所以“指数相加”其实就是“个数相加”。

同样，

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：A的3次幂的4次方=A的12次方。

根据意义来描述：3个A相乘，要乘4组，说是12个A相乘。

所以“指数相乘”其实就是“个数乘组数”或“个数的倍数”。

同样，

积的乘方，分别乘方，幂再相乘。如（A*B）3次方=A的3次方*B的3次方。

根据意义来描述：3个A*B相乘，就是3个A乘3个B。

所以“积的乘方”就是“每一个的个数都相同”。

同样，

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：A的7次方/A的3次方=A的4次方。

根据意义来描述：7个A与3个A相除，约掉3个A，剩下4个A。

所以“指数相减”就是“个数相减”。

或者根据除法是乘法的逆运算得：相乘时指数相加，则相除时指数相减。

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幂的运算，实际是指数在变化，即个数或加或乘或减。

但要记住一个前提：“同底数”，即必须是“相同的数相乘”。

底数不同时，是不可以合并的。

就好比3个苹果和4个桔子是不能算在一起的，只是在水果这一统一情况下，可以合并成7个水果。

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整式的乘法的计算与小学乘法其实是完全一样的，只是多了字母参加而已。

乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律，一样适用。

首先

单项式乘单项式，“单项式”其实就是“只有乘的代数式”。（乘方是乘的高级形式）

所以，单乘单，还是单，相同内容并一起。

这里就相当于用到了乘法交换律和结合律。

再看

单乘多，其实就是乘法分配律。单乘几项式，结果还是几项式。

最后看

多乘多，其实是乘法分配律的复杂形式。

A项*B项，结果在合并前，共是A*B项。如：2项式*3项式，乘的结果在没有合并同类项之前，共有6项。

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我们再用“数形结合”的思想，来更深一步理解：为什么加法是第一级运算？而乘法高一级是二级运算？并可以用“数形结合”方法来进行整式乘法的运算。

在小学时，经常用到的一种图形分析手段是什么？对了，是线段图。

线段在图形中，属于一维图形，即只有长短。

所以，加是一级运算。

在七年级，我们已经学习过用图形来表示代数式。并且，小学在图形学习时，做什么用到乘法特别多呢？是面积。

表示两部分相乘，在图形中就用面积来表示。面积，在图形中属于二维。所以，乘是二级运算。

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利用图形，我们很容易明白，二项式乘二项式，应该有四块，即积有四项。

但是在一些情况下，乘后可以合并同类项，合并后可以只有两项或三项。

先看

（A+B）（A-B）=A方-AB+AB-B方=A方-B方（平方差公式）

乘后再合并，就只有两项了。

再看

（A+B）方=（A+B）（A+B）=A方+AB+AB+B方=A方+2AB+B方

（A-B）方=（A-B）（A-B）=A方-AB-AB+B方=A方-2AB+B方

（完全平方公式）

乘后再合并，只有三项了。

对于这样的两类情况，给予了专门的公式名称，其作用就相当于乘法口诀。

平方差，说的是乘的结果。即结果是两部分的平方差。而乘的特点是两部分的和乘同样两部分的差。

完全平方，说的是乘的特点。即两部分的和整体完全平方。其结果是三项式，结果的特点是：两部分的平方和，再加上两部分的二倍积。

注意：多余老师在这没有说“两数和”，而是说“两部分的和”。到初中数学后，要始终牢记：一个字母，可以代表一个数，也可以代表一个式子，可以代表你想让他代表的一切。

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根据课程标准的要求，对乘法公式的理解，要求了解公式的几何意义。

这主要是体现“数形结合”思想，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

“数形结合”其实从小学一年级开始就已经体现了，只不过一直没的强调，在乘法公式这，因课程标准直接说明要求“了解公式的几何背景”，所以教材才特意进行突出安排。

但是，“数形结合”在乘法公式这，体现的意义不大。所以，反而会使学生忽视“数形结合”的价值。

而“数形结合”对于八下才开始的函数学习，其作用极其巨大。很多学生感到函数难学，就是缺乏“数形结合”。并且，有高中数学学习中，“数学结合”的运用更加广泛，作用更加重要。初中生要好好地重视哈。

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整式除法在本单元的作用：

一是对幂的除法的运用，知道除法是乘法的逆运算。

二是为因式分解时提取公因式做准备。

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关于因式分解，要注意以下几个问题：

一、因式分解不是运算，只是一种恒等变形。而变形，在数学中绝对不是目的，是一种解决问题的重要手段。

在初中，因式分解解决的主要问题是：解决分式问题和一元二次方程及二次函数。而这些内容在八上中都没有涉及。所以，容易造成学生为了因式分解而因式分解。

二、根据课程标准，教材提供的因式分解方法是提公因式法和公式法。

提公因式实际就是乘法分配律的逆运用。

公式法，就是乘法公式的逆运用。

所以，要学好因式分解，必须把乘法学得很扎实。

三、教材不出现，中考也不考，但在高中却使用非常普遍的一种因式分解方法“十字相乘法”，建议学生越早掌握越好。

所谓的“十字相乘法”，其实与乘法公式一样，都是“二乘二”出现的特殊情况。

（X+A）（X+B）=X方+AX+BX+AB=X方+（A+B）X+AB

反过来就是因式分解的十字相乘法：X方+（A+B）X+AB=（X+A）（X+B）

这是十字相乘法的简单形式，要求初中生必须掌握。因为到了高中，高中教材把这当做初中已会，不再进行学习，直接使用。没办法，教材呀脱节呀，吃苦的是学生。

十字相乘法的完整形式是：

（AX+B）（CX+D）=ACX方+ADX+BCX+BD=ACX方+（AD+BC）X+BD

反过来：ACX方+（AD+BC）X+BD=（AX+B）（CX+D）

其实，这个知识的学习，用“数形结合”才是更合适的。

不过，此知识点，在高中也基本不使用，所以，多余老师在这只做简单介绍，有兴趣的同学可以自己用“数形结合”来掌握。